Vật Lý

Góc giữa 2 vecto là gì ? Công thức tính góc giữa 2 vecto

Góc giữa 2 vecto là gì ? Công thức tính góc giữa 2 vecto là gì dưới dây là hướng dẫn chi tiết cách tính góc giữa 2 vecto , góc giữa 2 vecto trong không gian đày đủ chi tiết nhất hãy cùng tham khảo với hocdientu ngay bên dưới đây nhé !

Góc giữa 2 vecto là gì ? Công thức tính góc giữa 2 vecto
Góc giữa 2 vecto là gì ? Công thức tính góc giữa 2 vecto

Tại sao cần  xác định góc giữa 2 vecto ?

Vì nhiều lý do, chúng ta cần biết cách tính góc giữa hai vectơ. Chúng tôi được bao quanh bởi các vectơ. Các lực tác dụng lên dầm và các giá đỡ kết cấu khác được gọi là vectơ. Để dự đoán các kiểu thời tiết và khí hậu, vectơ được sử dụng để biểu thị gió, áp suất, độ ẩm và nhiều điều kiện khác.

Tại sao cần  xác định góc giữa 2 vecto ?
Tại sao cần  xác định góc giữa 2 vecto ?

Vectơ được sử dụng để mô hình hóa không khí chảy xung quanh cánh máy bay, chất lỏng chảy qua đường ống và nhiều tình huống khác. Những vectơ này hỗ trợ các nhà nghiên cứu trong việc phát triển máy bay tiết kiệm nhiên liệu và đường ống áp suất cao.

Định nghĩa góc giữa 2 vecto

Góc giữa hai vectơ là góc giữa các đầu của chúng. Nó có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng tích vô hướng hoặc tích vectơ . Lưu ý rằng góc giữa hai vectơ luôn nằm trong khoảng từ 0 ° đến 180 °.

Cách xác định góc giữa 2 vecto : Góc giữa hai vectơ là góc tạo thành tại giao điểm của chúng. Nếu các vectơ KHÔNG được nối lại thì chúng ta phải nối chúng từ đuôi này sang đuôi kia bằng cách dịch chuyển một trong các vectơ sử dụng dịch chuyển song song. Dưới đây là một số ví dụ để bạn thấy cách tìm góc giữa hai vectơ.

Định nghĩa góc giữa 2 vecto
Định nghĩa góc giữa 2 vecto

Ở đây, chúng ta có thể thấy rằng khi phần đầu của một vectơ được nối với phần đuôi của một vectơ khác, góc được tạo thành KHÔNG phải là góc giữa các vectơ. Thay vào đó, một trong số chúng phải được dịch chuyển theo cùng một hướng hoặc song song với chính nó sao cho các đuôi của vectơ được nối với nhau để đo góc.

Công thức tính góc giữa 2 vecto

Có hai công thức để xác định góc giữa hai vectơ : một theo tích vô hướng và một theo tích vecto . Nhưng công thức được sử dụng phổ biến nhất để tìm góc giữa hai vectơ liên quan đến tích vô hướng . Gọi a và b là hai vectơ và θ là góc giữa chúng. Sau đó, đây là công thức để tìm góc giữa chúng bằng cách sử dụng cả tích vô hướng và tích vecto:

  • Góc giữa 2 vecto có tích vô hướng là, θ = cos -1 [( a · b ) / (| a | | b |)]
  • Góc giữa hai vectơ sử dụng tích vecto là, θ = sin -1 [| a × b | / (| a | | b |)]

trong đó  a · b là tích vô hướng và a × b là tích vecto của a và b . Lưu ý rằng công thức tích vector cũng bao gồm độ lớn trong tử số trong khi công thức tích vô hướng thì không.

Công thức tính góc giữa 2 vecto
Công thức tính góc giữa 2 vecto

Góc giữa hai vectơ sử dụng tích vô hướng

Theo định nghĩa của tích vô hướng , a · b = | a | | b | cos θ . Hãy để chúng tôi giải điều này cho cos θ. Chia 2 vế cho | a | | b |

cos θ = ( a · b ) / (| a | | b |)

θ = cos -1 [( a · b ) / (| a | | b |)]

Đây là công thức tính góc giữa hai vectơ theo tích vô hướng.

Góc giữa hai vectơ sử dụng tích vecto

Theo định nghĩa của tích vecto , Để giải quyết vấn đề này cho θ, chúng ta hãy tính độ lớn của cả hai bên. Sau đó, chúng tôi nhận được

Chúng ta biết rằng n^ là một vectơ đơn vị và do đó độ lớn của nó là 1. Vì vậy

a × b | = | a | | b | sin θ

Chia 2 vế cho | a | | b |

sin θ = | a × b | / (| a | | b |)

θ = sin -1 [| a × b | / (| a | | b |)]

Đây là công thức tính góc giữa hai vectơ tính theo  tích vectơ

Làm thế nào để tính góc xen giữa 2 vecto ?

Chúng ta hãy xem một số ví dụ về việc tìm góc giữa hai vectơ bằng cách sử dụng tích vô hướng trong mặt phẳng và không gian.

Góc giữa hai vectơ trong mặt phẳng

Chúng ta hãy xem xét hai vectơ trong mặt phẳng có tọa độ a = <1, -2> và b = <-2, 1>. Gọi θ là góc giữa chúng. Hãy để chúng tôi tìm góc giữa các vectơ sử dụng cả tích vô hướng và tích vecto  :

Góc giữa hai vectơ trong mặt phẳng bằng cách sử dụng tích vô hướng

Hãy để chúng tôi tính tích số chấm và độ lớn của cả hai vectơ.

  • a · b = <1, -2> · <-2, 1> = 1 (-2) + (-2) (1) = -2 – 2 = -4.
  • a | = √ (1) ² + (-2) ² = √ 1 + 4 = √ 5
  • b | = √ (-2) ² + (1) ² = √ 4 + 1 = √ 5

Bằng cách sử dụng công thức góc giữa hai vectơ tích vô hướng, θ = cos -1 [( a · b ) / (| a | | b |)].

Khi đó θ = cos -1 (-4 / √ 5 · √ 5 ) = cos -1 (-4/5)

Chúng ta có thể sử cách tính góc giữa 2 vecto bằng casio để đánh giá điều này trực tiếp hoặc chúng ta có thể sử dụng công thức cos -1 (-x) = 180 ° – cos -1 x và sau đó sử dụng máy tính Casio (bất cứ khi nào tích số âm bằng công thức cos -1 ( -x) = 180 ° – cos -1 x rất hữu ích vì chúng ta biết rằng góc giữa hai vectơ luôn nằm trong khoảng từ 0 ° đến 180 °). Sau đó, chúng tôi nhận được:

cos -1 (-4/5) ≈ 143,13 °

Góc giữa hai vectơ trong mặt phẳng bằng cách sử dụng tích Vecto

Bây giờ chúng ta tìm thấy độ lớn của nó.

a × b | = √[ (0) ² + (0) ² + (-3) ² = 3]

Bằng cách sử dụng công thức góc giữa hai vectơ sử dụng tích chéo, θ = sin -1 [| a × b | / (| a | | b |)].

Khi đó θ = sin -1 (3 / √ 5 · √ 5 ) = sin -1 (3/5)

Nếu chúng ta sử dụng máy tính để tính giá trị này, θ ≈ 36,87 (hoặc) 180 – 36,87 (vì sin cũng dương trong góc phần tư thứ hai). Vì thế

θ ≈ 36,87 (hoặc) 143,13 °.

Do đó, chúng ta có hai góc và không có bằng chứng để chọn một trong số chúng làm góc giữa vectơ a và b . Do đó, công thức tích vecto có thể không hữu ích mọi lúc để tìm góc giữa hai vectơ.

Công thức góc giữa 2 vecto trong không gian

Chúng ta hãy xem xét một ví dụ để tìm góc giữa hai vectơ trong 3D. Cho a = i + 2 j + 3 k và b = 3 i – 2 j + k . Trước tiên, chúng tôi sẽ tính tích vô hướngm và độ lớn:

  • a · b = <1, 2, 3> · <3, -2, 1> = 1 (3) + (-2) (- 2) + 3 (1) = 3 – 4 + 3 = 2.
  • a | = √ (1) ² + (2) ² + 3² = √ 1 + 4 +9 = √ 14
  • b | = √ (3) ² + (-2) ² + 1² = √ 9 + 4 + 1 = √ 14

Ta có θ = cos -1 [( a · b ) / (| a | | b |)].

Khi đó θ = cos -1 (2 / √ 14 · √ 14 ) = cos -1 (2/14 ) = cos -1 (1/7) ≈ 81,79 °.

Các điểm quan trọng về góc giữa hai vectơ:

  • Góc (θ) giữa hai vectơ a và b được tìm bằng công thức θ = cos -1 [( a · b ) / (| a | | b |)].
  • Góc giữa hai vectơ bằng nhau là 0 độ vì θ = cos -1 [( a · a ) / (| a | | a |)] = cos -1 (| a | 2 / | a | 2 ) = cos -1 1 = 0 °.
  • Góc giữa hai vectơ song song bằng 0 độ là θ = cos -1 [( a · k a ) / (| a | | k a |)] = cos -1 (k | a | 2 / k | a | 2 ) = cos -1 1 = 0 °.
  • Góc (θ) giữa hai vectơ a và b sử dụng tích chéo là θ = sin -1 [| a × b | / (| a | | b |)].
  • Đối với hai vectơ a và b bất kỳ , nếu a · b dương thì góc nằm trong khoảng từ 0 ° đến 90 °;
    nếu a · b âm thì góc nằm trong khoảng từ 90 ° đến 180 °.
  • Góc giữa mỗi vectơ trong số các vectơ đơn vị i , j và k là 90 °.

Góc giữa 2 vecto trong không gian bài tập

Câu hỏi. Tìm góc giữa hai vectơ cho trước 4i + 5j – k và 2i – j + k. 

Trả lời: Giải pháp:

Cho, a = 4i + 5j – k và b = 2i – j + k

Vì vậy, Tích vô hướng là,

ab = (4i + 5j – k) (2i – j + k)

= (4)(2) + (5)(-1) + (-1)(1)

= 8 – 5 – 1

= 2

Câu hỏi. Khi nào thì hai vectơ chỉ cùng phương?  

Trả lời: Khi hai vectơ vuông góc với nhau, công thức tích vecto là:

  • Nếu cả hai vectơ song song hoặc ngược chiều với nhau thì tích vecto là các vectơ bằng không.
  • Trong trường hợp ngược lại, nếu hai vectơ song song hoặc ngược chiều với nhau thì tích của chúng là một vectơ bằng không.Hướng của hai vectơ là như nhau.

Câu hỏi. Tìm góc giữa hai vectơ cho trước 5i + 5j – k và 3i – 2j + k.

Trả lời: Cho, a = 5i + 5j – k và b = 3i – 2j + k

Vì vậy, sản phẩm chấm là,

ab = (5i + 5j – k). (3i – 2j + k)

= (5)(3) + (5)(2) + (-1)(1)

= 15 + 10 – 1

= 24

Câu hỏi. Tính góc giữa hai vectơ đã cho rằng chúng là vectơ đơn vị p và q trong đó p.q = 1 / 3i + 1 / 4j.

Trả lời: | a | = | b | = 1

Ở đâu,

| axb | = √ ((1/3) ^ 2 + (1/4) ^ 2) = 1/5

Đặt các giá trị đã cho vào công thức trên, chúng ta nhận được

| axb | = | a | | b | tội lỗi θ

1/5 = (1) (1) sin θ

θ = sin-1 (1/5)

θ = 30º

Câu hỏi. Nếu θ là góc giữa hai vectơ a và b sao cho | a · b | = | a × b |, thì θ là gì?

Giải :

Nó được cho rằng | a · b | = | a × b |.

Theo định nghĩa của tích vô hướng và tích chéo,

| | a | | b | cos θ | = | | a | | b | sin θ n^|

Từn^  là một vectơ đơn vị, độ lớn của nó là 1.

a | | b | cos θ = | a | | b | sin θ

cos θ = sin θ

Điều này chỉ xảy ra khi θ = 45 °.

Trả lời: Góc giữa hai vectơ khi tích chấm và tích chéo bằng nhau là θ = 45 °.

Video hướng dẫn góc giữa 2 vecto

Đỗ Thủy Học Điện Tử

Tôi một người đam mê cung cấp kiến thức cuộc sống và kiến thức giáo dục văn học , vật lý , điện tử đến cho mọi người hãy cùng tôi tiếp nhận kiến thức mới nhé !
Back to top button